在自然界和工程应用中，湍流无处不在，以其复杂而混沌的流体运动形式吸引着人们的目光。历经百年，在完全不同的介质、场域、尺度中，人们反复探究着湍流所蕴含的深远、广泛的物理本质和统计规律。然而，随着活性物质这一新兴领域的发展，一种全新的湍流形态——活性湍流，开始进入科学家们的视野。与传统流体不同，活性流体由能够自主运动的微小生物或颗粒组成，如分子马达、细菌、上皮细胞和自驱动胶体粒子等。由于组成单元的活力、动力构型、几何性质、相互作用不同，不同的活性流体往往具有迥异的性质。然而，形如湍流的集群运动却广泛涌现于不同的活性流体中。这种“活性湍流”可以出现在低雷诺数流体——这一传统上不能形成湍流的环境下；因此，它们展现出与传统湍流截然不同的属性：自下而上的自组织行为和能量从个体注入的方式。对于传统湍流而言，其所处维度是其最本质的属性之一，决定了它的动力学和统计行为。然而，活性湍流作为一种新型湍流，其对维度依赖性尚不明朗。补齐这块拼图，对于我们了解活性湍流内在的物理机制和预测其行为具有至关重要的意义。
最近，中国科学院物理研究所/北京凝聚态物理国家研究中心彭毅研究团队和中国科学院理论物理研究所孟凡龙研究团队合作在活性湍流领域取得了突破性进展。通过开发高通量的实验方案，他们实现了对限域（confinement）尺度的精确调控，还在同一块样品的不同成像平面内获得了高质量的流场测量（图1）。他们优化流场图像处理技术和流场追踪技术，获得了迄今为止在同类样品中测量深度、广度和全面性均领先的数据。
图1，在不同厚度样品中测得的细菌湍流（上排），与对应流场（下排），颜色代表涡度。
实验发现，在不断增加样品厚度的过程中，流场的直观上图案的变化，可以使用速度相关函数和速度结构函数进行刻画。两个统计量对样品厚度的依赖关系中，体现出两个临界厚度：10微米和40微米。当限域高度超过10微米，速度的空间关联性突然骤增，继而在样品的不同高度处显现出不同（中心最强）。到达40微米时，速度关联与高度的依赖饱和成球状（归一化后）、并不再变化。并且速度关联长度在厚样品中与样品厚度H呈H0.5关系，这解决了之前细菌活性湍流理论中是否有本征长度的争论。实验表明，这一临界厚度标志着限域高度开始大于涡旋大小，流速在三个维度变为各相同向（图2）。
图2，（a）不同厚度H的样品中的速度关联长度。（b）不同测量高度d对速度关联长度的影响。（c）速度结构函数表征的细菌涡旋直径Dv对H的依赖性。
研究团队还探索活性湍流是否具有普适标度律，发现其动能谱可以由在低波数和高波数区间两个标度律刻画，这两个标度律不随细菌活性、细菌大小等参数变化。另外标度律指数随着系统变厚发生了两步转变：从二维的（+1，-2）变为中间区的（+1，-4），再变为三维的（-1，-4）.而两个转变点为上文提到的两个临界厚度。最后，通过使用抗生素改变细菌长度，他们引入活性单元的个体尺寸这一关键参数，展现了它对于临界厚度的影响（见图3）。
图3，个体尺寸、集群尺寸（涡旋大小）、限域尺寸的博弈在不同统计量中的体现。（a）利用抗生素调控细菌长度。实空间中，（b）流场速度关联长度，（c）涡旋大小与细菌长度、样品厚度的关系。波数空间中，（d-e）动能谱与上述因素的关系。（f）动能谱的标度率从二维到三维的演化，虚线为理论模型预测。
在理论层面，本研究摒弃了复杂的模型构建，而是从最基本的力元在边界中的镜像关系出发，推导出了流场标度率的渐近解析表达（见图4）。这一理论创新不仅简化了对活性湍流统计特性的理解，更为实验观察提供了坚实的理论基础。
图4，流体力学的“力元-双镜像”模型（a），模型预测的渐近标度率（b），以及结合实验系统特征后的具体标度率相图（c）。
通过理论与实验的紧密结合，本研究发现了活性湍流从二维到三维的转变是由个体大小、集群尺寸、限域尺度三者之间的竞争共同决定的。在这场竞争中，存在两个临界尺度。该研究通过设计、优化统计量，同时在实空间、波数空间这对共轭空间中，确认了这些临界尺度。本工作不仅梳理整合了领域内迄今不同的实验结果，更有助于建立广泛的共识。本工作详细描绘了二维和三维活性湍流的特征，并通过一个简洁有效的流体力学理论框架，为活性湍流的维度相变提供了一个通用性的解释。
本文的第一作者为SM7组的博士后魏达，理论物理所博士生杨耀晨充实了研究的理论部分。通讯作者为中国科学院物理研究所SM7组的彭毅特聘研究员和理论物理所的孟凡龙研究员。这项研究以“Scaling Transition of Active Turbulence from Two to Three Dimensions”为题，发表在Advanced Science上（https://doi.org/10.1002/advs.202402643）。本工作得到了中国科学院、国家自然科学基金、北京凝聚态物理国家研究中心开放课题、博士后海外引进项目、物理所国际青年学者等项目的资助。