中国科学院物理研究所
北京凝聚态物理国家研究中心
T03组供稿
第43期
2017年09月22日
量子场论模型对偶变换研究取得进展
在物理学中，常常遇到这样的事情：同样的物理现象，需要从不同的角度、用不同的语言来描述，方能得到全局性认识。一个简单的例子，就是电子的波粒二相性。服从量子力学描述的电子，既有实空间中的粒子的性质，又有动量空间中波动的性质，而联系这两种不同描述的变换，是一种对偶变换。在电子波粒二相性这个简单的例子里，对偶变换就是从实空间到动量空间的傅立叶变换。
为什么需要对偶变换呢？好处不少，比如可以简化问题，尤其是凝聚态物理学中常常遇到的量子多体问题，求解十分困难，但是在一些特殊的例子里，强关联的量子多体问题可以通过对偶变换简化成弱关联的问题，然后用微扰论解析求解。比如1+1维的强关联费米子系统，可以通过非局域的费米-玻色对偶变换，即所谓玻色化过程，转化成1+1维弱关联玻色子系统，微扰求解得到系统的能谱、准粒子激发等等性质。对偶变换更有意义的地方，是让人们从不同的角度认识所面对的物理问题，得到更加深刻的理解。比如电子既有波又有粒子的性质；再比如著名的Kitaev 模型中的拓扑相变，其拓扑序参量是非局域的弦序参量，在问题的自旋的表象中看起来十分抽象。而在 2007年，物理所理论室向涛研究员团队发现 [1]，其实可以通过对偶变换，把 Kitaev 模型对应到一个带有Z2规范场的费米子模型，为问题提供了新的视角。从费米子的激发谱和局域序参量中可以更加形象的理解Kitaev模型中的各个拓扑相和相变。
这些现象简单明了，已经进入了物理学的教科书，成为公共的知识。而对偶变换这件事本身，在过去的几年中，在一批凝聚态物理学家、弦理论学家、数学家的共同努力下，得到极大的发展。人们逐渐认识到一些在凝聚态物理学和高能物理学中大家普遍关心的、困难的、看似不同的物理问题（量子场论模型），其实可以通过对偶变换彼此转化，使得原本困难的问题变得简单，原本复杂的问题变得易于理解，或者给出了新的理解。比如，原本人们对于量子霍尔效应系统中 1/2 –filling 的朗道能级的无能隙激发没有很好的理解，对偶变换就可以将这个问题转换成无质量狄拉克半金属与量子电动力学规范场耦合的问题，揭示了问题的狄拉克 composite fermion实质 [2]。
对偶变换在近几年的发展，掀起凝聚态物理学与高能物理学中的大波澜，改变着人们对于相变理论，对于相互作用下的拓扑物质形态，对于高能物理和凝聚态物理在强关联量子多体问题的计算技术的共通性，在规范场和物质场耦合的物理实质的共通性方面的认识，一张对偶变换之网正在形成 [3]。然而，对偶变换之网中的许多环节，依靠的是科学家们直觉上的预测，并没有严格的数值计算证明，整个领域迫切需要一个可以支持理论正确性的严格计算结果。
中国科学院物理研究所/北京凝聚态国家实验室（筹）理论室孟子杨副研究员所组织的团队（下面简称该团队）：包括已毕业的秦彦齐博士研究生（导师方忠研究员、孟子杨副研究员），中国人民大学物理系何院耀博士研究生、卢仲毅教授，哈佛大学尤亦庄博士，加州大学圣塔芭芭拉分校许岑珂副教授，波士顿大学 Anders Sandvik 教授，几年来在量子场论模型蒙特卡洛计算方面，积累了足够经验和技术，整个团队刚好处在可以通过大规模量子蒙特卡洛数值计算，为对偶变换之网提供确定性证据的位置。在最近的一个工作中 [4]，他们发现，团队之前研究的两类问题：相互作用费米子系统中的拓扑量子相变，与磁学系统中的解禁闭量子临界行为，恰恰构成了对偶变换之网中的一个重要环节，而该团队进一步的量子蒙特卡洛计算结果，给出了支持这个环节是正确的重要证据。
具体到研究的问题。其一是双层蜂窝晶格费米子模型，如Fig.1 左图所示。在这个模型中，通过费米子行列式蒙特卡洛计算，他们发现了一个相互作用驱动的拓扑量子相变。在Fig.1 左图 (a) 中，双层的费米子系统处在自旋陈数为2的量子自旋霍尔态，引入层间海森堡相互作用J，费米型的边界态首先会变成玻色型，系统进入玻色型对称性保护拓扑相；继续增大J，两层上的电子形成局域的自旋单态，拓扑性质消失，系统变为自旋单态的直积态（Fig.1左图 (c)）。该团队运用费米子行列式蒙特卡洛计算发现，在对称性保护的拓扑相与自旋单态的直积态之间有一个连续相变，在相变点处共有4种玻色型集体激发的能隙关闭，对应于系统所具有的 SO(4) 对称性。量子场论告诉我们，这个相变其实和量子电动力学中的N=2 无质量狄拉克费米子系统中的相变一致，而对偶变换之网进一步预言，这个相变与下面要提到的解禁闭量子临界点，可以彼此转化。
该团队研究的问题之二，是磁学系统中的解禁闭量子临界点，如 Fig.1 右图所示。它描述反铁磁相互作用下长程反铁磁 AFM-XY 态 (antiferromagnetic XY ordered phase) ，和四体自旋相互作用下的 VBC态 (valence bond crystal)，在调节两种相互作用的比例时，发生了一个从 AFM-XY 态到 VBC 态的连续相变。这样的相变不是朗道对称性破缺理论框架所能够解释的，简单来说，AFM-XY态自发破缺了自旋的旋转对称性 (这里是 O(2) 对称性)，VBC 态自发破缺了晶格中的平移和旋转对称性。这两个自发破缺相的序参量，如果在一个相变点处相遇，朗道理论告诉我们，一定是一个一级相变。但是，在该团队所构造的量子磁学模型中，大规模的路径积分蒙特卡洛计算揭示了一个连续相变：AFM-XY序参量消失之处，正是 VBC 序参量萌芽之所。这个相变被称为解禁闭量子临界点，在相变点上，系统中涌现出 SO(4) 对称性， 涌现出分数化的自旋子 (spinon) 激发，而且还涌现出了传递自旋子相互作用的规范场。一如高能物理中，夸克在能量高时可以渐进自由解除禁闭，从强子分化出来一样。解禁闭量子临界点本身已经很新奇，现在对偶变换进一步告诉人们，它和相互作用驱动的拓扑量子相变具有本质联系。
相互作用费米子拓扑相变点与磁性系统中的解禁闭量子临界点，这两个相变中的任意一个都是凝聚态物理学中大家关心的问题。而对偶变换之网进一步预言，这两个相变，其低能场论模型其实是一致的 [7]，这种关系在 Fig.2 中展示。Fig.2 (a) 为相互作用费米子拓扑相变模型相图，Fig.2 (b) 为解禁闭量子临界点模型相图，Fig.2 (c) 为N=2 的量子电动力学狄拉克费米子模型相图。三个相图中，相同颜色的区域可以对偶变换成为彼此，(a), (b) 和 (c) 三个相图中心的三个量子临界点，其实是同一个。该团队的大规模量子蒙特卡洛计算，就是证实了这件事。如此看来，对偶变换已经超越了相变理论中的普适类框架，即两个不同的相变点如果属于同一个普适类，要求其模型的对称性一致，但是该团队研究的相互作用拓扑相变模型和解禁闭量子临界点模型，在相变发生的路径上（Fig.2 (a), (b) 中的箭头）对称性并不相同。而该团队大规模量子蒙特卡洛计算揭示它们的临界指数却是一致的，比如，拓扑相变模型的anomalous dimension 临界指数为 eta=0.10+/-0.01, 而去禁闭量子临界点的 anomalous dimension 临界指数为 eta=0.13+/-0.03，在误差之内二者相等。两个模型的其他临界指数，如 correlation length 临界指数，也通过蒙特卡洛计算，发现符合对偶变换之网所预言的关系。这说明了对偶变换可能是超越普适类的相变理论的更加深刻的描述，两个或者多个看似不同的场论模型，只要符合对偶变换之网中的连接，可以具有相同的低能场论描述。该团队对于两个模型的蒙特卡洛计算、有限尺度标度数值分析，以及最终得到的对偶变换之网所预言的两个模型临界指数之间的数值关系，等等细节可以参考文献[4]。
证实了相互作用费米子拓扑相变点与解禁闭量子临界点满足对偶变换关系，就证实了对偶变换之网的一个重要环节是正确的。这既让人们对于相互作用的拓扑相变点和解禁闭量子临界点有了更深刻的认识，更为对偶变换之网的进一步发展，比如拓扑序和量子自旋液体中存在的其他更加高级的对偶变换，给出了有力的支撑。这项工作 [4]，与同期一篇理论文？章 [7]，发表在最近一期的 Physical Review X。
上述工作得到了国家自然科学基金（项目批准号: 91421304, 11421092, 11474356, 11574359, 11674370（秦彦齐、何院耀、卢仲毅、孟子杨））和国家基础科学研究计划 (项目批准号: 2016YFA0300502 (秦彦齐、孟子杨))，中国人民大学拔尖人才培育计划2016（何院耀），美国国家自然科学基金(项目批准号DMR- 1410126 DMR-1151208 (Anders Sandvik, 尤亦庄，许岑珂))和 David and Lucile Packard Foundation(许岑珂)， 以及中科院物理所国际访问学者计划（Anders Sandvik）、波士顿大学凝聚态理论访问计划（秦彦齐）的支持。量子蒙特卡洛模拟所需的大规模的并行计算在中科院物理所量子模拟科学中心，中国人民大学高性能计算实验室， 天津国家超算中心天河1号平台上完成。在计算过程中，该团队得到了天津国家超算中心孟祥飞博士、赵洋工程师、菅晓东工程师等人的有力配合：他们一方面帮助进行计算程序的 MPI+OPENMP 优化，使得更大晶格的计算变得可行；另一方面，在天河1号系统升级计算资源紧张的情况下，仍然帮助调配节点，使得总计600个计算节点、7200核的大规模并行蒙特卡洛计算得以顺利完成，在这里表示由衷地感谢。从这项工作还看到，目前国内的超算平台，除了在浮点运算规模上领先世界之外，这些平台实质性地助力基础科学研究的时机已然到来，基础科学研究单位和国家超算中心更加精彩的合作，将会不断涌现。
参考文献：
[1] X.Y. Feng, G.M. Zhang, T. Xiang, Phys. Rev. Lett. 98, 087204 (2007)
[2] D. T. Son, Phys. Rev. X 5 031027 (2015)
[3] N. Seiberg, T. Senthil, C. Wang, and E. Witten, Annals of Physics 374, 395 (2016)
[4] Y. Q. Qin, Y. Y. He, Y. Z. You, Z. Y. Lu, A. Sen, A. W. Sandvik, C. Xu. Z. Y. Meng, Phys. Rev. X 7, 031052 (2017)？
[5] Y.Y. He, H.Q. Wu, Y.Z. You, C.Xu, Z.Y. Meng, Z.Y.Lu, Phys. Rev. B 93, 195163 (2016)
[6] R.P. Singh, Physics, 3 35 (2010)
[7] C. Wang, A. Nahum, M.A. Metlitski, C. Xu, and T. Senthil, Phys. Rev. X 7, ？？031051 (2017)？.
为什么需要对偶变换呢？好处不少，比如可以简化问题，尤其是凝聚态物理学中常常遇到的量子多体问题，求解十分困难，但是在一些特殊的例子里，强关联的量子多体问题可以通过对偶变换简化成弱关联的问题，然后用微扰论解析求解。比如1+1维的强关联费米子系统，可以通过非局域的费米-玻色对偶变换，即所谓玻色化过程，转化成1+1维弱关联玻色子系统，微扰求解得到系统的能谱、准粒子激发等等性质。对偶变换更有意义的地方，是让人们从不同的角度认识所面对的物理问题，得到更加深刻的理解。比如电子既有波又有粒子的性质；再比如著名的Kitaev 模型中的拓扑相变，其拓扑序参量是非局域的弦序参量，在问题的自旋的表象中看起来十分抽象。而在 2007年，物理所理论室向涛研究员团队发现 [1]，其实可以通过对偶变换，把 Kitaev 模型对应到一个带有Z2规范场的费米子模型，为问题提供了新的视角。从费米子的激发谱和局域序参量中可以更加形象的理解Kitaev模型中的各个拓扑相和相变。
这些现象简单明了，已经进入了物理学的教科书，成为公共的知识。而对偶变换这件事本身，在过去的几年中，在一批凝聚态物理学家、弦理论学家、数学家的共同努力下，得到极大的发展。人们逐渐认识到一些在凝聚态物理学和高能物理学中大家普遍关心的、困难的、看似不同的物理问题（量子场论模型），其实可以通过对偶变换彼此转化，使得原本困难的问题变得简单，原本复杂的问题变得易于理解，或者给出了新的理解。比如，原本人们对于量子霍尔效应系统中 1/2 –filling 的朗道能级的无能隙激发没有很好的理解，对偶变换就可以将这个问题转换成无质量狄拉克半金属与量子电动力学规范场耦合的问题，揭示了问题的狄拉克 composite fermion实质 [2]。
对偶变换在近几年的发展，掀起凝聚态物理学与高能物理学中的大波澜，改变着人们对于相变理论，对于相互作用下的拓扑物质形态，对于高能物理和凝聚态物理在强关联量子多体问题的计算技术的共通性，在规范场和物质场耦合的物理实质的共通性方面的认识，一张对偶变换之网正在形成 [3]。然而，对偶变换之网中的许多环节，依靠的是科学家们直觉上的预测，并没有严格的数值计算证明，整个领域迫切需要一个可以支持理论正确性的严格计算结果。
中国科学院物理研究所/北京凝聚态国家实验室（筹）理论室孟子杨副研究员所组织的团队（下面简称该团队）：包括已毕业的秦彦齐博士研究生（导师方忠研究员、孟子杨副研究员），中国人民大学物理系何院耀博士研究生、卢仲毅教授，哈佛大学尤亦庄博士，加州大学圣塔芭芭拉分校许岑珂副教授，波士顿大学 Anders Sandvik 教授，几年来在量子场论模型蒙特卡洛计算方面，积累了足够经验和技术，整个团队刚好处在可以通过大规模量子蒙特卡洛数值计算，为对偶变换之网提供确定性证据的位置。在最近的一个工作中 [4]，他们发现，团队之前研究的两类问题：相互作用费米子系统中的拓扑量子相变，与磁学系统中的解禁闭量子临界行为，恰恰构成了对偶变换之网中的一个重要环节，而该团队进一步的量子蒙特卡洛计算结果，给出了支持这个环节是正确的重要证据。
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| Fig. 1. 左图，双层蜂窝晶格模型 (摘自[5])。(a) 每层是一个量子自旋霍尔态，自旋陈数为1，两层自旋陈数为2，U是库仑相互作用，J是海森堡相互作用。U=0时，系统具有 SO(4) 对称性，系统处在玻色型对称性保护拓扑相，低能激发是四重简并的玻色型 O(4) 矢量。（b）库仑排斥作用U增强时，系统进入反铁磁态，SO(4) 对称性破缺。(c) 海森堡相互作用J增强时，系统进入上下两层自旋单态构成的直积态。这是一个拓扑平凡的物态，但是从（a）到 （c）的相变却不平凡，这个相变其实与量子电动力学中的 N=2 狄拉克费米子的相变一致，更与解禁闭量子临界点对偶。右图，解禁闭量子临界点 （摘自[6]）。Neel态（在这里是反铁磁 AFM-XY态）自发破缺自旋旋转对称性，Valence bond crystal (VBC) 态自发破缺晶格对称性，g=Q/J 是VBC相互作用和反铁磁相互作用的比例，gc 是解禁闭量子临界点。 |
具体到研究的问题。其一是双层蜂窝晶格费米子模型，如Fig.1 左图所示。在这个模型中，通过费米子行列式蒙特卡洛计算，他们发现了一个相互作用驱动的拓扑量子相变。在Fig.1 左图 (a) 中，双层的费米子系统处在自旋陈数为2的量子自旋霍尔态，引入层间海森堡相互作用J，费米型的边界态首先会变成玻色型，系统进入玻色型对称性保护拓扑相；继续增大J，两层上的电子形成局域的自旋单态，拓扑性质消失，系统变为自旋单态的直积态（Fig.1左图 (c)）。该团队运用费米子行列式蒙特卡洛计算发现，在对称性保护的拓扑相与自旋单态的直积态之间有一个连续相变，在相变点处共有4种玻色型集体激发的能隙关闭，对应于系统所具有的 SO(4) 对称性。量子场论告诉我们，这个相变其实和量子电动力学中的N=2 无质量狄拉克费米子系统中的相变一致，而对偶变换之网进一步预言，这个相变与下面要提到的解禁闭量子临界点，可以彼此转化。
该团队研究的问题之二，是磁学系统中的解禁闭量子临界点，如 Fig.1 右图所示。它描述反铁磁相互作用下长程反铁磁 AFM-XY 态 (antiferromagnetic XY ordered phase) ，和四体自旋相互作用下的 VBC态 (valence bond crystal)，在调节两种相互作用的比例时，发生了一个从 AFM-XY 态到 VBC 态的连续相变。这样的相变不是朗道对称性破缺理论框架所能够解释的，简单来说，AFM-XY态自发破缺了自旋的旋转对称性 (这里是 O(2) 对称性)，VBC 态自发破缺了晶格中的平移和旋转对称性。这两个自发破缺相的序参量，如果在一个相变点处相遇，朗道理论告诉我们，一定是一个一级相变。但是，在该团队所构造的量子磁学模型中，大规模的路径积分蒙特卡洛计算揭示了一个连续相变：AFM-XY序参量消失之处，正是 VBC 序参量萌芽之所。这个相变被称为解禁闭量子临界点，在相变点上，系统中涌现出 SO(4) 对称性， 涌现出分数化的自旋子 (spinon) 激发，而且还涌现出了传递自旋子相互作用的规范场。一如高能物理中，夸克在能量高时可以渐进自由解除禁闭，从强子分化出来一样。解禁闭量子临界点本身已经很新奇，现在对偶变换进一步告诉人们，它和相互作用驱动的拓扑量子相变具有本质联系。
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| Fig. 2 (a) 双层蜂窝晶格模型相图，这里的横轴 V等价于 Fig. 1 左图中的 J，纵轴U即是Fig.1 左图中的 U。(b) 解禁闭量子临界点模型相图，横轴hz 是外磁场，不在 Fig. 1 右图中，纵轴 Q即是Fig.1 右图中的 g=Q/J。(c) 量子电动力学 N=2 Dirac fermion 模型相图。右边表格描述了量子场论模型之间的对偶变换关系，以及他们在蒙特卡洛计算晶格模型中的对应。(a), (b) 中的箭头，是工作[4] 中量子蒙特卡洛计算所进行的参数路径。 |
相互作用费米子拓扑相变点与磁性系统中的解禁闭量子临界点，这两个相变中的任意一个都是凝聚态物理学中大家关心的问题。而对偶变换之网进一步预言，这两个相变，其低能场论模型其实是一致的 [7]，这种关系在 Fig.2 中展示。Fig.2 (a) 为相互作用费米子拓扑相变模型相图，Fig.2 (b) 为解禁闭量子临界点模型相图，Fig.2 (c) 为N=2 的量子电动力学狄拉克费米子模型相图。三个相图中，相同颜色的区域可以对偶变换成为彼此，(a), (b) 和 (c) 三个相图中心的三个量子临界点，其实是同一个。该团队的大规模量子蒙特卡洛计算，就是证实了这件事。如此看来，对偶变换已经超越了相变理论中的普适类框架，即两个不同的相变点如果属于同一个普适类，要求其模型的对称性一致，但是该团队研究的相互作用拓扑相变模型和解禁闭量子临界点模型，在相变发生的路径上（Fig.2 (a), (b) 中的箭头）对称性并不相同。而该团队大规模量子蒙特卡洛计算揭示它们的临界指数却是一致的，比如，拓扑相变模型的anomalous dimension 临界指数为 eta=0.10+/-0.01, 而去禁闭量子临界点的 anomalous dimension 临界指数为 eta=0.13+/-0.03，在误差之内二者相等。两个模型的其他临界指数，如 correlation length 临界指数，也通过蒙特卡洛计算，发现符合对偶变换之网所预言的关系。这说明了对偶变换可能是超越普适类的相变理论的更加深刻的描述，两个或者多个看似不同的场论模型，只要符合对偶变换之网中的连接，可以具有相同的低能场论描述。该团队对于两个模型的蒙特卡洛计算、有限尺度标度数值分析，以及最终得到的对偶变换之网所预言的两个模型临界指数之间的数值关系，等等细节可以参考文献[4]。
证实了相互作用费米子拓扑相变点与解禁闭量子临界点满足对偶变换关系，就证实了对偶变换之网的一个重要环节是正确的。这既让人们对于相互作用的拓扑相变点和解禁闭量子临界点有了更深刻的认识，更为对偶变换之网的进一步发展，比如拓扑序和量子自旋液体中存在的其他更加高级的对偶变换，给出了有力的支撑。这项工作 [4]，与同期一篇理论文？章 [7]，发表在最近一期的 Physical Review X。
上述工作得到了国家自然科学基金（项目批准号: 91421304, 11421092, 11474356, 11574359, 11674370（秦彦齐、何院耀、卢仲毅、孟子杨））和国家基础科学研究计划 (项目批准号: 2016YFA0300502 (秦彦齐、孟子杨))，中国人民大学拔尖人才培育计划2016（何院耀），美国国家自然科学基金(项目批准号DMR- 1410126 DMR-1151208 (Anders Sandvik, 尤亦庄，许岑珂))和 David and Lucile Packard Foundation(许岑珂)， 以及中科院物理所国际访问学者计划（Anders Sandvik）、波士顿大学凝聚态理论访问计划（秦彦齐）的支持。量子蒙特卡洛模拟所需的大规模的并行计算在中科院物理所量子模拟科学中心，中国人民大学高性能计算实验室， 天津国家超算中心天河1号平台上完成。在计算过程中，该团队得到了天津国家超算中心孟祥飞博士、赵洋工程师、菅晓东工程师等人的有力配合：他们一方面帮助进行计算程序的 MPI+OPENMP 优化，使得更大晶格的计算变得可行；另一方面，在天河1号系统升级计算资源紧张的情况下，仍然帮助调配节点，使得总计600个计算节点、7200核的大规模并行蒙特卡洛计算得以顺利完成，在这里表示由衷地感谢。从这项工作还看到，目前国内的超算平台，除了在浮点运算规模上领先世界之外，这些平台实质性地助力基础科学研究的时机已然到来，基础科学研究单位和国家超算中心更加精彩的合作，将会不断涌现。
参考文献：
[1] X.Y. Feng, G.M. Zhang, T. Xiang, Phys. Rev. Lett. 98, 087204 (2007)
[2] D. T. Son, Phys. Rev. X 5 031027 (2015)
[3] N. Seiberg, T. Senthil, C. Wang, and E. Witten, Annals of Physics 374, 395 (2016)
[4] Y. Q. Qin, Y. Y. He, Y. Z. You, Z. Y. Lu, A. Sen, A. W. Sandvik, C. Xu. Z. Y. Meng, Phys. Rev. X 7, 031052 (2017)？
[5] Y.Y. He, H.Q. Wu, Y.Z. You, C.Xu, Z.Y. Meng, Z.Y.Lu, Phys. Rev. B 93, 195163 (2016)
[6] R.P. Singh, Physics, 3 35 (2010)
[7] C. Wang, A. Nahum, M.A. Metlitski, C. Xu, and T. Senthil, Phys. Rev. X 7, ？？031051 (2017)？.